Bevis for kuglens rumfang

Kuglens rumfang og overflade areal
En halvcirkel som omdrejningslegeme:

cirkelligning: y = √(r² – x²)

cirklen centreret i origo skæres af x-akse i (–r,0) og (r,0) og af y-akse i (0,r)
Omdrejningslegemets rumfang generelt: V = π ∫ f(x)^2 dx
Omdrejnings-halvcirklens rumfang ved drejning om x-aksen: V = π ∫ (-r to r) [√(r^2 –x^2)]^2dx
= ∫ (- r to r) π (r² – x²) dx

stamfunktionen til r^2 – x^2 er π ∫ r² dx – π ∫ x² dx =
Da r^2 er konstant:

πr² ∫ dx – π ∫ x² dx =
Stamfunktionen til x^2 er andet led:
πr²x – π 1/3 x^3 + c =

Til sidst indsættes grænserne, hvilket giver:
r
∫ π (r² – x²) dx = π (r² – x²) dx = [πr²(r) – (π/3)(r)³] – [πr²(- r) – (π/3)(- r)³] = πr³ –
-r
(π/3)(r)³ – [- πr³ + (π/3)r³] =

πr³ – (π/3)r³ + πr³ – (π/3)r³ =

2πr³ – (2π/3)r³ =

(6πr³ – 2πr³) /3 = (4πr³) /3

Ergo rumfanget af kuglen er som forventet (4/3)πr³
Kuglens overfaldeareal: svarer til rektangels med siderne 2rπ (en storcirkels omkreds) og 2r. Ergo 4πr^2

Solens radius er 109 gange større end Jordens. Solens rumfang er derfor 109^3 = 1.295.029 gange større end Jordens, når det forudsættes at Jordens og Solens former er kuglens.
Solens overflade areal er 109^2 = 11.881 gange større end Jordens.

Advertisements

6 responses to “Bevis for kuglens rumfang

  1. Pingback: HVORFOR BEFOLKNINGSOPGØRELSERNE OG MANGE ANDRE OFFICIELLE FAKTAOPLYSNINGER ER I UDU – LIDT MORSOMT INDSLAG INDIMELLEM | Danmark

  2. Pingback: Europas velstand og velfærd | transeurabia

  3. Pingback: Forsøg på at overgå Emanuel Schikaneders libretto og Wolfgang Amadeus Mozarts ‘Die Zauberflöte’ | Danmark

  4. Pingback: Retssag inspirerer til opera-libretto | transeurabia

  5. Pingback: Danskerne må ikke modtage information, der ikke alene er væsentlig for at forstå udviklingen i Europa, men altafgørende for vort fremtidige erhvervsgrundlag | Danmark

  6. Pingback: DANSKERNE MÅ IKKE FÅ VITAL INFORMATION – HELLER IKKE OM DET FREMTIDIGE MANGLENDE ERHVERSGRUNDLAG | transeurabia

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

w

Connecting to %s